50 대 50 아닌가?Isn't it 50-50?
문이 두 개 남았으니 반반일 것 같지만, 아닙니다. 바꾸면 2/3, 안 바꾸면 1/3로 이깁니다. 1990년 한 칼럼이 "바꾸는 게 유리하다"고 하자 수학자를 포함한 수천 명이 "틀렸다"며 항의했지만, 정답은 바꾸는 쪽이었습니다.
Two doors are left, so it feels like 50-50, but it isn't. Switching wins 2/3 of the time; staying, only 1/3. When a 1990 column said "switching is better," thousands (including mathematicians) wrote in to say it was wrong. It wasn't.
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왜 바꾸면 2/3일까?Why does switching win 2/3?
처음 고른 문이 정답일 확률은 1/3뿐입니다. 즉 2/3의 확률로 자동차는 나머지 두 문 중 하나에 있습니다. 그런데 사회자가 그 두 문 중 염소 문을 열어 없애줍니다(사회자는 정답을 알고 일부러 염소를 엽니다). 그러면 그 2/3의 확률이 남은 단 하나의 문으로 통째로 몰립니다. 그래서 바꾸면 2/3.
Your first pick is right only 1/3 of the time. So 2/3 of the time the car is behind one of the other two doors. The host then opens the goat among those two (he knows the answer and deliberately reveals a goat). That whole 2/3 now collapses onto the single remaining door. So switching wins 2/3.
직관 ②: 바꾸기 = "처음 선택을 뒤집기". 바꾼다는 건 사실 처음 고른 것의 반대에 거는 것입니다. 처음에 염소를 골랐다면(2/3 확률) 사회자가 남은 염소를 열어주니, 바꾸면 무조건 자동차. 처음에 자동차를 골랐다면(1/3) 바꾸면 염소. 즉 바꾸기는 "처음에 틀렸을 때" 이깁니다. 처음에 틀릴 확률이 2/3이니, 바꾸기 승률도 딱 2/3.
Intuition ②: switching = "flipping your first choice." Switching really means betting against your original pick. If you first picked a goat (2/3 of the time), the host reveals the other goat, so switching always gives the car. If you first picked the car (1/3), switching gives a goat. So switching wins exactly when your first pick was wrong, and that's 2/3 of the time.
• 자동차가 1번(내 문): 바꾸면 → 염소 ✗
• 자동차가 2번: 사회자는 3번(염소)을 열 수밖에 없음 → 바꾸면 2번=자동차 ✓
• 자동차가 3번: 사회자는 2번을 열 수밖에 없음 → 바꾸면 3번=자동차 ✓
세 경우 중 둘에서 바꾸면 이깁니다 → 2/3. Intuition ③: just enumerate all three cases. Say you always pick door 1 (the car is equally likely behind each):
• Car behind 1 (your door): switching → goat ✗
• Car behind 2: the host must open 3 (a goat) → switching lands on 2 = car ✓
• Car behind 3: the host must open 2 → switching lands on 3 = car ✓
Switching wins in two of three cases → 2/3.
직관 ④: 사회자는 "랜덤"이 아니다 (핵심). 직관이 배신당하는 진짜 이유는 이겁니다: 사회자는 아무 문이나 여는 게 아니라, 정답을 알고 일부러 염소 문만 엽니다. 만약 사회자가 무작위로 열다가 가끔 자동차를 열어버리는 규칙이었다면, 그땐 정말 50 대 50입니다. 사회자의 '정보'가 확률을 남은 문 쪽으로 몰아주는 것이죠.
Intuition ④: the host is not "random" (the key). Here's why intuition fails: the host doesn't open a random door, he knows the answer and deliberately opens only a goat. If instead he opened at random and sometimes revealed the car, it really would be 50-50. It's the host's information that pushes the odds onto the remaining door.
직접 확인: 위에서 몇 판 플레이해 보고, "3000판 자동 비교"를 눌러보세요. 그대로는 ≈33%, 바꾸기는 ≈67%로 갈립니다.
See for yourself: play a few rounds above, then hit "Auto-run 3000×". Staying lands at ≈33%, switching at ≈67%.