수학의 아름다움 · Leonhard Euler, 1748The Beauty of Math · Leonhard Euler, 1748

오일러 항등식Euler's Identity

수학에서 가장 아름다운 식. 서로 아무 상관 없어 보이는 다섯 개의 근본 상수 0, 1, π, e, i가 단 하나의 원 위에서 만납니다. The most beautiful equation in mathematics. Five fundamental constants, 0, 1, π, e, i, that seem utterly unrelated all meet on a single circle.

복소평면Complex plane 회전Rotation e = 2.71828…

무슨 뜻일까?What does it mean?

e는 성장, i는 √-1이라는 상상의 수, π는 원. 전혀 다른 세계의 상수들입니다. 그런데 오일러는 이들을 하나로 묶었습니다.

e is growth, i is the imaginary number √−1, π is the circle, constants from completely different worlds. Yet Euler tied them all into one.

eiπ + 1 = 0

비밀은 오일러 공식 eiθ = cos θ + i·sin θ 에 있습니다. 복소평면에서 eiθ는 반지름 1짜리 원 위를 각도 θ만큼 도는 점일 뿐입니다. 반 바퀴(θ = π = 180°)를 돌면 정확히 −1에 도착하죠. 거기에 1을 더하면 0. 그게 전부입니다.

The secret is Euler's formula eiθ = cos θ + i·sin θ. On the complex plane, eiθ is simply a point traveling around a unit circle by angle θ. Go halfway around (θ = π = 180°) and you land exactly on −1. Add 1, and you get 0. That's all there is to it.

왜 하필 "원 위를 도는" 걸까? 두 가지로 보면 분명해집니다. ① 오일러 공식이 eiθ = cos θ + i·sin θ라고 말합니다. 즉 이 수의 가로 좌표(실수부)는 cos θ, 세로 좌표(허수부)는 sin θ, 이건 정확히 반지름 1인 원 위, 각도 θ 지점의 좌표입니다 (cos²θ + sin²θ = 1이라 원점에서의 거리가 늘 1). ② 더 깊게는, θ로 미분하면 d/dθ · eiθ = i·eiθ인데, i를 곱하는 것 = 90° 회전입니다. 즉 점의 '속도'가 항상 자기 위치와 직각, 이게 바로 원운동의 정의죠. θ=0에서 1(맨 오른쪽)에서 출발해 일정한 속력으로 원을 그립니다. Why does it "travel around a circle"? Two ways to see it. ① Euler's formula says eiθ = cos θ + i·sin θ. So this number's horizontal coordinate (real part) is cos θ and its vertical coordinate (imaginary part) is sin θ, exactly the point at angle θ on a circle of radius 1 (since cos²θ + sin²θ = 1, its distance from the origin is always 1). ② Deeper: differentiate with respect to θ and d/dθ · eiθ = i·eiθ, and multiplying by i is a 90° rotation. So the point's "velocity" is always perpendicular to its position, the very definition of circular motion. Starting from 1 (the far right) at θ=0, it sweeps the circle at constant speed.

🌀 복소평면 위를 돌아보기🌀 Travel around the complex plane

각도 슬라이더를 π까지 돌려보세요Turn the angle slider all the way to π
실수부 (cos θ)Real part (cos θ)
1.000
허수부 (sin θ)Imaginary part (sin θ)
0.000
e^{iθ}
1 + 0i
e^{iθ} + 1
2 + 0i
회전하는 벡터 e^{iθ}Rotating vector e^{iθ} 실수부 (가로 그림자)Real part (horizontal shadow) 허수부 (세로 그림자)Imaginary part (vertical shadow)

직접 확인해 보세요See it for yourself

θ = π (≈ 3.14159) 로 맞추면 점은 정확히 왼쪽 끝 (−1, 0)에 섭니다. eiπ = −1. 여기에 1을 더하면 원점 0. 다섯 상수가 만나는 순간입니다. Set θ = π (≈ 3.14159) and the point lands exactly at the far left, (−1, 0). eiπ = −1. Add 1 and you're back at the origin, 0, the moment all five constants meet.

θ = π/2 (90°)에서는 어떻게 될까요? 점이 맨 위 (0, 1) = i에 섭니다. 즉 eiπ/2 = i. "허수 방향으로 성장한다"는 건 결국 "회전한다"는 뜻이었습니다.

What about θ = π/2 (90°)? The point sits at the very top, (0, 1) = i. So eiπ/2 = i, "growing in the imaginary direction" turns out to mean "rotating."