뷔퐁의 바늘 · 상자 속의 우주

바늘을 던져 π를 잰다Measuring π by throwing needles

1777년 뷔퐁 백작이 낸 문제입니다. 바닥에 간격 D로 평행선을 긋고, 길이 L(≤ D)인 바늘을 아무렇게나 떨어뜨립니다. 바늘이 선에 걸칠 확률은 놀랍도록 단순하게 2L / (πD)가 됩니다. 여기 π가 들어있죠.

A problem posed by the Comte de Buffon in 1777. Rule a floor with parallel lines a distance D apart, and drop a needle of length L (≤ D) at random. The probability it crosses a line turns out to be startlingly simple: 2L / (πD). There sits π.

그러니 거꾸로, 바늘을 N개 던져 그중 C개가 선에 걸쳤다면, 걸칠 확률은 대략 C/N이고 π를 이렇게 추정할 수 있습니다:

So run it backward: toss N needles, count C that cross a line. The crossing probability is about C/N, and you can estimate π as:

π ≈ 2·L·N / (D·C)

아래에서 직접 바늘을 쏟아부어 보세요. 던질수록 추정값이 3.14159…로 기어갑니다. (여기선 편의상 L = D라 π ≈ 2N/C 입니다.)

Pour the needles down yourself below. The more you throw, the closer the estimate crawls to 3.14159… (here L = D for simplicity, so π ≈ 2N/C).

🪡 바늘을 던져 보기🪡 Throw the needles

주황색 = 선에 걸친 바늘. 많이 던질수록 π 추정이 정확해집니다Orange = needles crossing a line. The more you throw, the sharper the estimate of π

던진 바늘 NNeedles thrown N

선에 걸침 CCrossings C

π 추정 (2N/C)π estimate (2N/C)

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참값과의 오차Error vs true π

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선에 걸친 바늘Crosses a line 선 사이에 떨어진 바늘Lands between lines

왜 하필 π가 나올까?Why does π appear at all?

바늘 하나의 상태는 두 숫자로 정해집니다. 가장 가까운 선까지의 거리 y(0 ~ D/2 사이 균등)와 기울기 각도 θ(0 ~ π 사이 균등)죠. 바늘이 선에 걸치려면, 바늘의 세로 방향 뻗침이 그 거리보다 커야 합니다:

A single needle is fixed by two numbers: the distance y to the nearest line (uniform on 0 to D/2) and the tilt angle θ (uniform on 0 to π). It crosses a line when its vertical reach exceeds that distance:

y ≤ (L/2) · sin θ

이제 이 조건이 성립할 확률을 모든 각도 θ(0부터 π까지)에 대해 평균 내면 됩니다. 여기 핵심 사실 하나: sinθ를 0부터 π까지 쭉 더하면 정확히 2가 나옵니다(사인 한 봉우리 아래 넓이). 바로 그 2가 결과의 분자에 박히죠:

Now average this condition over all angles θ (from 0 to π). One key fact: adding sinθ up from 0 to π gives exactly 2 (the area under one hump of sine). That 2 is what lands in the numerator:

P(걸침) = (1/π)∫₀^π (L·sinθ / D) dθ = 2L / (πD)

기호 풀이: ∫는 "쭉 더하라(적분)", 아래 0·위 π는 "θ를 0부터 π까지 훑어라", 앞의 1/π는 그 범위로 나눠 평균 내라는 뜻입니다. 핵심은 sinθ를 0부터 π까지 더하면 정확히 2가 된다는 것.

Notation: ∫ means "add it up (integrate)", the 0 below and π above mean "sweep θ from 0 to π", and the leading 1/π divides by that range to take the average. The key is that summing sinθ from 0 to π gives exactly 2.

π의 정체: 여기서 π는 원에서 온 게 아니라, 각도가 0에서 π까지 한 바퀴 도는 그 범위에서 왔습니다. 회전을 균등하게 평균 내는 순간 π가 분모에 박히는 거죠. 그래서 걸침 확률의 역수에 π가 들어있고, 실험으로 그 확률(C/N)을 재면 π를 거꾸로 뽑아낼 수 있습니다. 이것은 역사상 가장 오래된 몬테카를로 방법 중 하나예요. 단, 수렴이 느려서(오차 ∝ 1/√N) π를 소수 몇 자리 얻으려면 바늘 수만 개가 필요합니다. What π really is here: this π didn't come from a circle. It came from the angle sweeping the full range 0 to π. Averaging uniformly over rotation is what stamps π into the denominator. So the reciprocal of the crossing probability carries π, and by measuring that probability (C/N) you can pull π back out. This is one of the oldest Monte Carlo methods. But it converges slowly (error ∝ 1/√N), so getting even a few digits of π needs tens of thousands of needles.

1901년 라차리니는 바늘 3408개로 π ≈ 3.1415929를 얻었다고 발표했는데, 이는 355/113이라는 유명한 근사와 소수 여섯 자리까지 같습니다. 너무 정확해서 오히려 결과를 미리 알고 실험을 멈춘 것 아니냐는 의심을 삽니다. 우연이 만든 아름다움과, 그 우연을 조작하고 싶은 유혹이 함께 담긴 이야기죠.

In 1901 Lazzarini reported π ≈ 3.1415929 from 3,408 needles, matching the famous approximation 355/113 to six decimals. It was so accurate that many suspect he knew the answer and stopped when it looked good. A story that holds both the beauty made by chance and the temptation to nudge that chance.